第二节 恒定流的连续性方程

在中学理化中我们学习了关于物质运动的几个基本原理，它们分别是质量守恒原理、能量守恒原理和动量定理，揭示了物质运动变化的基本规律。由于水流运动属于自然界物质运动的一种，故而也遵循这些原理。但是，为了应用方便，在水力学中三大原理的具体表现形式将有所不同。下面首先介绍质量守恒原理。

一、理论依据

中学化学中学习的质量守恒原理，或者称为物质不灭原理。

二、连续性方程的基本形式

比如有一节给水管道，如图2-6所示，水流从1—1断面流到2—2断面，中间没有水流的流出，也没有外来水流的加入，假设1—1断面流量为Q₁,2—2断面的流量为Q₂，则必然有

如果引入断面平均流速和断面面积，则式（2-2）可以写成

或

以上三个公式就是恒定流的连续性方程。它表明：对于恒定流，其断面平均流速与过水断面面积成反比；或者说，流量沿程不变。

连续性方程是水动力学的三大方程之一。它反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程的改变规律。

需要注意，式（2-2）是针对两个断面之间无水流出入的情况下建立的。当两个断面之间有水流汇入［图2-7（a）］或分出［图2-7（b）］的时候，连续性方程应变为

式中 Q₃——汇入或分出的流量。有支流汇入时取“+”号［图2-7（a）］，有支流分出时取“-”号［图2-7（b）］。

三、应用举例

【例2-1】 一串联管道如图2-8所示，直径分别为d₁=100mm, d₂=200mm,当v₁=5m/s时，试计算：（1）通过管道的流量Q；（2）第二节管道断面的平均流速v₂；（3） 两节管道的断面平均流速之比。

（1）求管中的流量Q。

（2）求流速v₂。

(3)断面平均流速比。

，结果表明小管流速是大管的4倍。

【例2-2】 有一河道在某处分为两支：内江和外江，如图2-9所示。为便于引水灌溉农田，在外江设溢流坝一座，用以抬高上游水位。已测得上游河道流量Q=1400m³/s，通过溢流坝的流量Q₁=350m³/s。内江的过水断面面积A₂=380m²，求通过内江的流量Q₂及2—2断面的平均流速。

根据连续性方程，通过内江的流量为

Q₂=Q-Q₁=1400-350=1050（m³/s）

则2—2断面的平均流速为